АНАЛИЗ ЗАДАНИЙ, ТРАДИЦИОННЫХ ДЛЯ ЕГЭ

Проанализируем задания из ЕГЭ 2010, 2011,2012 и демоверсии 2013 годов.
 В  2010 году отводится 3 задания на данную тему.

Задание А1: Дано А=9D16, B=2378 . Какое из чисел C, записанных в двоичной системе, отвечает условию A<C<B?

Общий подход:

перевести все числа (и исходные данные, и ответы) в одну (любую!) систему счисления и сравнить.

Решение (вариант 1, через десятичную систему):

1) А=9D16=9*16+13*16*1=144+13=157

2) В=2378=2*64+3*8+7*1=128+24+7=159
3) переводим в десятичную системы все ответы:

100110102 = 154, 100111102= 158, 100111112 = 159, 110111102=222

4) очевидно, что между числами 157 и 159 может быть только 158
5) таким образом, верный ответ – 2 .

Возможные проблемы: арифметические ошибки при переводе из других систем в десятичную.

Решение (вариант 2, через двоичную систему):

Возможные проблемы: запись двоичных чисел однородна, содержит много одинаковых символов – нулей и единиц, поэтому легко запутаться и сделать ошибку.

Решение (вариант 3, через восьмеричную систему):

сначала перевели в двоичную систему, потом двоичную запись числа разбили на триады справа налево, каждую триаду перевели отдельно в десятичную систему, так как для чисел от 0 до 7 их восьмеричная запись совпадает с десятичной);

Возможные проблемы: нужно помнить двоичную запись чисел от 0 до 7 (или переводить эти числа в двоичную систему при решении).

Решение (вариант 4, через шестнадцатеричную систему):

сначала перевели в двоичную систему, потом двоичную запись числа разбили на тетрады справа налево, каждую тетраду перевели в шестнадцатеричную систему; при этом тетрады можно переводить из двоичной системы в десятичную, а затем заменить все числа, большие 9, на буквы – A, B, C, D, E, F);

Возможные проблемы: нужно помнить двоичную запись чисел от 0 до 15 (или переводить эти числа в двоичную систему при решении).

Это задание на сравнение чисел из родственных СС появляется только в этом году. Задача не считается сложной. Однако она является трудоёмкой, так как требует перевода исходных чисел в одну из приведенных СС и сравнение их с предлагаемыми ответами.Умение преводить числа в родственные СС потребуется для выполнения заданий ЕГЭ на сложение чисел.

Задание А4: Вычислить сумму чисел X и Y, если

X=1101112

Y=1358

Результат представьте в двоичном виде.
Решение: Поскольку варианты ответов представлены в двоичной форме, наиболее удобно и быстро решить данную задачу путем перевода всех чисел в двоичную систему счисления.
1) число Х уже представлено в двоичной СС. Представим число Y:Y=1358=10111012.
2) сложим числа Х и Y: 1101112+10111012=100101002.
   В этой задаче предлагается сложить два числа, заданных в родственных СС
( 2-ой, 8-ой и 16-ой).Указанную задачу можно рассматривать, используя перевод исходных чисел и вариантов ответа в 10-ю СС. Однако в некоторых случаях можно использовать перевод и сложение чисел  в 2-ой СС. Это наиболее простое задание, так как варианты ответов заданы в двоичной форме, так как решение можно свести к сложению двоичных чисел и сразу получить новый ответ.

Задание В3: В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 49 записывается в виде 100. Укажите это основание.
Решение: Обозначим через N неизвестное основание.Запишем короткую постановку задачи: 100N=49.100N=1*N²=49.Отсюда  N =7.

В  2011 году  отводится так же 3 задания на данную тему.
Задание А1 остаётся прежним.Задача А4 тоже остаётся прежней,только ответы даны в 8-ой и 16-ой СС, что требует перевода либо в десятичную СС, либо в двоичную СС.
Задача В3 по кодификатору становится В5. Смысл её остаётся такой же как и в 2010 году.

В  2012 году меняется суть задачи А1 и их количество, на одну становится меньше.Предлагается уже 2 задачи по теме "системы счисления".
Задание А1: Сколько единиц в двоичной записи числа 1025?
Решение: Решение (вариант 1, прямой перевод):

1)      переводим число 1025 в двоичную систему: 1025 = 10000000001­₂

2)      считаем единицы, их две

3)      Ответ: 2.

Возможные проблемы: легко запутаться при переводе больших чисел.

Решение (вариант 2, разложение на сумму степеней двойки):

1)      тут очень полезно знать наизусть таблицу степеней двойки, где 1024 = 2¹⁰ и 1 = 2⁰

2)      таким образом, 1025=  1024 + 1 = 2¹⁰ + 2⁰

3)      вспоминая, как переводится число из двоичной системы  в десятичную (значение каждой цифры умножается на 2 в степени, равной её разряду), понимаем, что в двоичной записи числа ровно столько единиц, сколько в приведенной сумме различных степеней двойки, то есть, 2

4)      Ответ: 2.

Возможные проблемы: нужно помнить таблицу степеней двойки.

Когда удобно использовать: ·    когда число чуть больше какой-то степени двойки

Задание В8: Запись числа 30₁₀ в системе счисления с основанием N оканчивается на 0 и содержит 4   цифры. Чему равно основание этой системы счисления?

Решение:

1) поскольку запись в системе счисления с основанием N заканчивается на 0, то остаток от деления числа 30 на N равен 0, то есть при некотором целом K имеем
K*N+0=30. Следовательно основание N – это делитель числа 30.
с другой стороны, запись числа содержит 4 цифры, то есть 1000N<=30<=10000N, следовательно N^3<=30<N^4
1) выпишем кубы и четвертые степени первых натуральных чисел, которые являются делителями числа 30: 2^3=8; 3^3=27; 2^4=16; 3^4=81.
2) видим, что из этого списка только для числа N = 3 выполняется условие
3) таким образом, верный ответ – 3.

В 2013 году планируется сохранить количество заданий равное 2.
Задание А1: не изменяется смысл задания, остаётся таким же как в демо2012 года.
Задание В8 по кодификатору меняеся на В7, оно усложняется. Запись десятичного числа в системах счисления с основаниями 3 и 5 в обоих cлучаях имеет последней цифрой 0. Какое минимальное натуральное десятичное число удовлетворяет этому требованию?

Решение: пусть X-десятичное число. Тогда X10=A*3^1+0*3^0=B*5^1+0*5^0. 3*A=5*B=0. A=5; B=3. Ответ: X10=15.